命題 整数\(n\)が素数\(p\)と互いに素であるならば、 \[n^{p-1}\equiv1\pmod p\] が成り立つ。 証明 \(p\)が素数のとき、集合\(X = \{ 1,2,3,\ldots,p-1 \}\)とおく。また\(X_n = \{xn \bmod p \,|\,x \in S \}\)としたとき、\(X_n = X\)が成り立つ（※1）。よって、\(X\)の要素をすべて乗じた結果と、\(X_n\)の要素をすべて乗じた結果は等しい。 \[ 1\cdot2\cdots(p-1) = (1n \bmod p)\cdot(2n\bmod p)\cdots((p-1)n \bmod p) \] これから、 \[ 1\cdot2\cdots(p-1) \equiv 1n\cdot2n\cdots(p-1)n \pmod p \] が成り立つ。式を整理して、 \[ (p-1)!\,n^{p-1} \equiv (p-1)! \pmod p \] \((p-1)!\)は\(p\)と互いに素なので、 \[n^{p-1} \equiv 1 \pmod p\] が示された。（証明終わり）
※1の証明 https://story.hyuki.net/20170703002408/
