問題
https://story.hyuki.net/20160724225734/
どんな正の整数\(n\)に対しても、 \[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = 0 \] が成り立つことを証明してください。
ただし、 \[ \binom n k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \] とします。
https://img.textfile.org/a7f2adc1fd348d4e914d92628abb9b34.jpeg
証明1（二項定理を使う）
二項定理より、 \[ \sum_{k=0}^{n} \binom n k x^{n-k}y^k = (x + y)^n \] が成り立つ。\(x = 1, y = -1\)とすると、 \[ \sum_{k=0}^{n} \binom n k 1^{n-k}(-1)^k = (1 - 1)^n \] なので、 \[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = 0 \] が成り立つ。
証明2（パスカルの三角形を使う）
有限和、 \[ S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k \] の値は、パスカルの三角形で\(n\)行目（最上行を\(0\)行目とする）に並ぶ数の列の符号を交互に正負としたものの和に等しい。
たとえば、\(n = 3\)のときには、\(1, 3, 3, 1\)を使って、 \[ S_3 = 1 - 3 + 3 - 1 \] となる。
また、\(n = 4\)のときには、\(1, 4, 6, 4, 1\)を使って、 \[ S_4 = 1 - 4 + 6 - 4 + 1 \] となる。
パスカルの三角形で\(n\)行目を作るときには、\(n-1\)行目の一つの数を《斜め左下》と《斜め右下》に分配して作る。ところが、\(S_n\)を計算する上では《斜め左下》と《斜め右下》の符号は正負逆になる。したがって\(S_n\)の値は必ず\(0\)となる。
（ここに、図を描く）
（ここに、文章で説明した話を数式で書く）
みなさんの解答は、以下のツイートにリプの形でリンクされています。 https://twitter.com/hyuki/status/757217223903588355
