命題
二つの実数列 \(\{ a_n \}\) と \(\{ b_n \}\) があり、\(n \to \infty\) での極限値が、それぞれ \(a\) と \(b\) であるとする。任意の正整数\(n\)について\(a_n < b_n\)が成り立つとき、\(a > b\)にはならない。
証明
\(a > b\)になってしまうとしたら、\(a_n > b_n\)となる正整数\(n\)が存在するので、前提条件に反することを示す。
\(\epsilon = \dfrac{a - b}{2}\)と置くと、\(\epsilon > 0\)である。
\(n \to \infty\)のとき、\(a_n \to a\)だから、十分大きな正整数\(N_a\)を選べば、\(N_a\)より大きなすべての正整数\(n\)について\(a - \epsilon < a_n < a + \epsilon\)が成り立つ。
同様に、十分大きな正整数\(N_b\)を選べば、\(N_b\)より大きなすべての正整数\(n\)について\(b - \epsilon < b_n < b + \epsilon\)が成り立つ。
https://img.textfile.org/2017-02-25_line.jpg
\(N > N_a, N > N_b\)となる正整数\(N\)を選ぶと、\(a - \epsilon < a_N < a + \epsilon\)ならびに\(b - \epsilon < b_N < b + \epsilon\)が成り立つ。
ここで、\(a - \epsilon = \dfrac{a+b}{2} < a_N\)および\(b + \epsilon = \dfrac{a+b}{2} > b_N\)なので、 \[ a_N > b_N \] がいえた。
（証明終わり）
補足
関連ツイートが以下にあります。
https://twitter.com/hyuki/status/835254287001255936 https://twitter.com/hyuki/status/835351071249686528
http://rentwi.textfile.org/?835254287001255936
