eが無理数であることの証明

$e$が無理数であることの証明

以下の証明は@von_archimedeanさんのツイートを自分の理解のために清書したものです。

https://twitter.com/von_archimedean/status/813559806371897344

背理法で証明する。

$e$が有理数であると仮定すると、$e$は正整数$m \geq 1$と正整数$n$を使って、

$$e=\frac n m$$ と表せる。この両辺に$m!$を掛けて、 $$m!e = (m-1)!n$$ を得る。ここで、$e$の定義から、 $$e = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!}$$ であるので、 $$(m-1)!n = \sum_{k=0}^\infty \frac{m!}{k!}$$ となる。この左辺は正整数だから、右辺も正整数になる。

ところで、右辺の$m$までの部分和、

$$\sum_{k=0}^m \frac{m!}{k!}$$ が正整数であることから、$m+1$以降の級数、 $$\sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!}$$ も正整数となる（$\heartsuit$）。

ところがこの級数の各項は、$j \geq 1$に対して、

$$\begin{align*} \frac{m!}{(m+j)!} &= \frac1{m+1}\cdot\frac1{m+2}\cdots\frac1{m+j} \\ & \leq \frac1{1+1}\cdot\frac1{1+2}\cdots\frac1{1+j} \\ & \leq \frac1{2^j} \quad \text{（等号成立は$j=1$であるとき）} \\ \end{align*}$$ が言えることから、 $$\begin{align*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{m!}{k!} & < \sum_{j=1}^\infty \frac1{2^j} \\ &= 1 \\ \end{align*}$$ となり、$\heartsuit$に矛盾する。

よって、$e$は無理数である。

（証明終わり）

途中の評価は、@lll_anna_lll さんに教えていただきました。

https://twitter.com/lll_anna_lll/status/813720829703778304