素数は無数に存在する。
背理法を用いる。素数が有限個しか存在しないと仮定し、その個数を\(n\)とする。\(2\)と\(3\)は素数であるから\(n \geqq 2\)であり、すべての素数は、 \[ p_1,\ldots,p_n \] と列挙できる。
ここで、すべての素数の積に\(1\)加えた数を\(q\)とする。すなわち、 \[ q = p_1\cdots p_n + 1 \] である。
\(q\)は\(1\)より大きい整数で、素数\(p_1,\ldots,p_n\)のどれでも割り切れない。したがって\(q\)は素数である。
ところで\(q\)は、どの素数\(p_1,\ldots,p_n\)よりも大きい。したがって\(q\)は素数ではない。
これは矛盾である。したがって素数は無数に存在する。（証明終わり）
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