問題
\(\log_{10}314159\)が無理数であることを示せ。
解答
\(\log_{10}314159\)が実数であることは前提とします。
背理法を使って証明します。\(\log_{10}314159\)が無理数ではない（有理数である）と仮定すると、 \[ \log_{10}314159 = \dfrac{p}{q} \] と表すことができます。ここで\(p\)と\(q\)はどちらも整数で\(q \neq 0\)です。
\(\log\)の定義より、 \[ 10^{p/q} = 314159 \] が成り立ちます。この両辺を\(q\)乗して、 \[ 10^{p} = 314159^q \] が成り立ちます。左辺は\(10\)の倍数になりますが、右辺は\(10\)の倍数になりません。これは矛盾です。
よって、背理法により\(\log_{10}314159\)が無理数であることが証明できました。
（証明終わり）
https://twitter.com/hyuki/status/761699911557521408
