整数環\(\mathbb Z\)のイデアル同士の演算の話をします。
\(n\)の倍数全体の集合を\(n\mathbb Z\)と書くことにします。
いま、\(4\mathbb Z + 6\mathbb Z\)を\[\{ x + y \mid x \in 4\mathbb Z, y \in 6\mathbb Z \}\]と定義すると、\[4\mathbb Z + 6\mathbb Z = 2\mathbb Z\]になることがわかります。
一般に、\(m\)と\(n\)の最大公約数を\(g\)とすると、\[m\mathbb Z + n\mathbb Z = g\mathbb Z\]が成り立ちます。
また、\(m\)と\(n\)の最小公倍数を\(d\)とすると、\[m\mathbb Z \cap n\mathbb Z = d\mathbb Z\]が成り立ちます。
