\(R\)と\(S\)を環とします。
\(R\)から\(S\)への写像\(f:R \to S\)が環準同型であるとは、\(R\)の任意の要素\(x,y\)について、 \[ \begin{cases} f(xy) &= f(x)f(y) \\ f(x+y) &= f(x) + f(y) \\ f(1_R) &= 1_S \\ \end{cases} \]が成り立つことです（\(1_R\)は\(R\)の乗法単位元で、\(1_S\)は\(S\)の乗法単位元。ここでは乗法単位元の存在を仮定しています）。
環準同型\(f\)の核とは、 \[ \{ x \in R \mid f(x) = 0 \} \]という集合で、これを\(\ker(f)\)と書きます（\(0\)は\(S\)の加法単位元）。
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言い換えるなら、写像\(f\)の定義域を\(\ker(f)\)に制限した写像を\(g\)と置くと、写像\(g\)の像（イメージ）は\(\{0\}\)です。
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